「還在背 9X9 乘法表?印度人背的是 19X19 乘法表!」── 印度人傲視全球的數學能力,該從「零的轉移」談起

「還在背 9X9 乘法表?印度人背的是 19X19 乘法表!」── 印度人傲視全球的數學能力,該從「零的轉移」談起

 

文:于梅格

 


「印度人發明了數字 0!」
「印度人數學超強!」
「我們還在背 9X9 乘法表,印度人可是在背 19X19 乘法表!」

自從印度人發明數字 0 之後,至今已經二十多個世紀,他們的數學能力依然傲視全球,甚至蔓延成一股近乎迷思的神秘數學力量,有時候印度人也很困擾,怎麼大家都認為印度人一定數學很強呢?要探討從 0 開始,延展至無限的印度「0 的轉移」,當然得先從「0 從哪裡來」談起。

1-1=0,這個數學題任何人都能答得出來,即使沒有學過算數的人也能理解。小毛手上有一塊錢,小皮跑過來搶走了小毛手上的一塊錢,小毛的手上就沒有一塊錢了。現今「0」的概念如此的理所當然,讓人很難想像,在西元五世紀以前,「0」這個數字符號並不存在。

零的起源

其實早在西元前 3000 年,巴比倫人就發展出「0」的概念,古埃及文明中也可看見表示「0」的符號,但當時 0 與數學無關,也並非是運用在數學演算中的概念,反而比較像是一個表示位置的符號。中國古代也很早就出現「零」這個字,同時出現在數字當中,但其一樣只是表示「零頭」、「剩下」、「餘」的意思,而非「沒有」。

西元二世紀的紙莎草紙上記載著早期希臘符號 0(右下角)。圖/Wikimedia Commons


印度的數學家們首先將「0」從一種位置記號,轉換為數字本身。當時的人們究竟如何獲得「0」的概念已經無法確知,但就歷史上與文化交流的歷程來看,很可能是西元前四世紀,亞歷山大帝率領波斯軍隊入侵印度時,將 0 的概念帶入的,不過也有一說,認為印度是獨立地發現「0」的概念,因為當時人們用小石子在地上演算數字,當一顆一顆把石子拾起作為減去,直到最後一顆代表「1」的小石子拿起時,地上就剩下一個洞了,這個洞就成為了 0。

為什麼這麼多文化曾如此接近「0」,但卻都沒有將之視為可演算的數字呢?因為數學的發展與生活實用難以切割,於是在古希臘這思想如此發展的文明中,「0」因其「無用」而變得危險。為何危險?這就要考慮到在古代,數學與哲學基本上是同一個學科,「0」不只是數字,它也代表了一種意義,即「無」,而與「無」雙生的概念則是「無限」。如果「無限」存在,則表示我們並無法窮盡地理解至個世界上的萬事萬物,於是各個古希臘哲學家接用自己的方式證明我們所見之世界之虛幻,並使世界成為一個「不變的一」,這樣就免去了無知的危險。

但在印度文化中,「無限」與「虛空」的概念卻不這麼被排斥,這是源自於其宗教思想上的特色。現今在印度節慶、生活中都很重要的「三神」即「梵天」(Brahma)、「毗濕奴」(Vishnu)與「濕婆」(Shiva),但這三神並非是獨立存在的位格,而較接近無限之「神」的不同表現方式,這樣的想法很接近泛神論。而在三神代表的意義上,我們可以觀察出從無限到有限再到無限的無窮盡輪迴。梵天造物、毗濕奴管理世界、濕婆毀滅,形成週而復始的循環。

在埃洛拉石窟的三相神,梵天、毗濕奴和濕婆(從左到右)。圖/WL, Wikimedia Commons


於是「0」的概念也就不可怕了,因為「什麼都沒有」並不是一團虛空或混亂,而只是無限神的一個階段性表現。15 世紀時,印度數學家馬哈吧(Madhava of Sangamagrama)創立喀拉拉學派(Kerala School),並以數學公式表現了「無限」的概念。他發現無限並不難掌握,你不需要窮盡世界中的無限才能抓握,而只要將一艘船從點 0 走到點 1 的距離「無限分割」就可以了,這有點像莊子所說「一尺之棰,日取其半,萬世不竭。」

在19~20世紀的交界,印度將會出現另一位數學家拉馬努金(Srīṉivāsa Rāmāṉujan Aiyaṅkār),他以無限概念繼續發現更多偉大的、隱藏在廣大宇宙中的未知函數與公式。

印度數學家拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。圖片來源/Wikimedia Commons


不知從什麼時候開始,大家都說印度人數學很好、特別聰明。這種謠傳與事實數據、與文化、也與民俗性有關。在文化特性的層面,有人說因為印度人特別愛講話,而在這樣的長期習慣之下,他們大腦中管控語言的部分運轉的就如電腦一樣快,組織能力、邏輯也因此有較好的發展;也有人說,那只不過是因為印度的生意人總是斤斤計較,於是在精打細算之間,營造了精明透頂的形象。

一封神祕的信,連結印度與美國兩地的數學家

不過,在科技產業中、在數學研究的領域裡,來自印度的菁英們確實不斷證明這個民族的驚人數學實力,其中一個動人的故事,發生在一次世界大戰背景中,如同天書一般的數學公式,連結了身處印度與美國兩地的數學家,他們所激盪出的火花,至今都深深地影響著這個世界。

這故事從 1913 年,三一學院(Trinity College, Cambridge)院士哈代(G.H.Hardy)所收到的一封信開始。這封信中,寫滿了數學公式,如同古代天書的形式,充滿似有意義的符號卻缺乏證明,有待觀者的破解。但哈代隨後發現,這些數學式背後的驚人天賦,並決定幫助這位來信的印度數學家。當時這位數學奇才的名字還未被世界所知,其秘密的天才僅存在他、他在印度的一位支持者與家人之間。

英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代(Godfrey Harold Hardy)。圖片來源/Wikimedia Commons


這位來信者就是偉大的印度數學家拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。在短暫的一生中,他從未受過高等專業數學訓練,憑著任何能得到的數學教材,他建立了跳躍式的直覺思考,在缺乏一些函數的基本知識下,寫下無數個深奧的數學公式。我們可以想像這位數學家特殊的學習過程,就像是他在這些教材中「認出」了規則,即使不曾學過某些定理,卻自己觀察出解碼的鑰匙,於是任何數字在他眼中都不再只是數字,而是具有意義的符號。

通過哈代的推薦,拉馬努金在三一學院做研究並成了榮譽院士,在這裡他與哈代和其他數學家合作,共同研究、發現與證明了許多新的數學定理。他所提出的許多函數與公式,在當時無法、或沒有被他證明,卻被之後的數學家研究、發展或證明。最離奇的一個例子是他死前提出的「拉馬努金θ函數」。這個拉瑪努金以直覺提出的、數學式子中的特殊質,即奇點,看似沒有任何道理,但在日裔數學家小野(Ken Ono)研究下,獲得更完整的解釋,並被科學加應用在研究黑洞的「熵」。離奇之處就在於,拉努瑪金宣稱他是在夢中獲得這項發現的靈感,而在當時人們根本還未開始研究黑洞。

拉馬努金θ函數。圖片來源/Wikipedia


拉馬努金相信,數學是「發現」而非「發明」

拉馬努金在英國的生活,最近被改編成傳記電影《天才無限家》The man who knew Infinity(2015),主要根據美國傳記作家卡尼格爾(R. Kanigel)所寫的同名傳記拍攝,情節詳述了他與哈代的友誼和合作,也包括少為人知的生活軼事,由傑瑞米·艾朗(Jeremy Irons)與《貧民百萬富翁》男星戴夫·帕托(Dev Patel)主演,使這位傳奇數學家,第一次與大眾如此接近。

從拉馬努金在數學領域與人類歷史的成就上,其實體現了一個數學的根本問題,即數學究竟是一種人類的「發明」還是「發現」?即使受到哈代的無神論之影響,但據說拉馬努金一直都努力維持著他的印度種姓婆羅門(Brahman)的生活方式,而他將自己的一切成就,都歸功給他的家族女神納瑪姬莉(Namagiri),聲稱自己不過是使出現在意識中的靈感有了具象化的表現,彷彿他在神的領域裡得到了諭示,而他總是習慣不加以證明地提出數學式子,似乎也體現了這個傾向。於是數學在拉馬努金的世界裡,是「發現」而不再是發明,具有形上意義與內容來源。

數學發現時常能夠為實際的世界與其他實用領域帶來貢獻,但純數學領域的研究者,要不認為數學是人類的偉大發明;要不就認為他們是在發現隱藏在密碼中的完美形式,而其成就偉大與否與在現實中的應用,反而不是最相關的。有趣的是,從拉馬努金的筆記與他的傳記看來,他幾乎是以接收「神諭」的方式,寫下上百條數學敘述,他曾說:「一個式子對我來說有意義,那是因為它代表了神的一個想法。」

不論數學的本質到底是什麼,是「展現」還是「解釋」了世界,拉努馬金的故事的確向是人展現了數學十分浪漫而神性的面向。

拉馬努金出生在英國管轄之下的印度,當時印度與孟加拉、巴基斯坦和緬甸同為英國的殖民統治區,雖然印度自治政府已經成立,但在複雜的宗教、種族問題與戰爭的陰影下,人們的生活依然處在很大的變動中。在被哈代發掘後,拉馬努金在英國度過將近七年的時間,一戰剛結束不久後,因戰時糧食缺乏營養而罹患當時無法確診的重病,拉馬努金因而決定返鄉休息養病,原本預期會獲得好轉並繼續在英國進行他的研究,但不久後,就在妻子的陪伴中逝世。在病榻上,拉馬努金依舊沒有中斷研究,他留下的無數筆記並沒有隨他一起埋葬,這些知識寶藏直到今日,都持續在數學領域中激發著研究者的靈感與精神。

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備註:本文原刊載於換日線合作夥伴 就是要印度,授權換日線重新編輯後刊登,原標題為:《印度冷知識-從0到無限,印度「零的轉移」》及《印度冷知識-拉馬努金,來自印度的數學奇蹟

執行編輯:HUI
核稿編輯:陳太陽

Photo Credit:Nick Hillier on Unsplash

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